Definisi dan Aksioma aljabar Boolean - Logika Algoritma

Aljabar Boolean

Definisi 1

Aljabar boolean adalah sistem aljabar yang berisi set S denagn dua operasi penjumlahan (#) dan perkalian ( . ) yang didefinisikan pada set itu sehingga memenuhi ketentuan berikut :

1.       Aturana A 1 dampai A5, M1 sampai M3, M5, D1 dan D2

2.       Setiap elemen adalah ‘idempoten’ yaitu if a ∈ S, maka  a.a = a

Definisi 2

Aljabar boolean adalah sistem aljabar yang berisi set S dengan dua operasi + dan yang didefinisikan pada set, sehingga setiap elemen a,b,c dari S mempunyai sifat-sifat atau aksioma-aksioma berikut :

A1	a + b =S	<closure>
M1	a.b ∈ S	<closure>
A2	a + (b+c) =(a+b)+c	<asosiatife>
M2	a.(b.c) = (a.b).c	<asosiatife>
A3	Jika 0 ∈ S maka untuk setiap a ∈ S, adalah a + 0=0+a=a	<identitas>
M3	Jika 1 ∈ S maka untuk setiap a ∈ S, adalaha.1=1.1 =a	<identitas>
A5	a+ b = b+a	<konsumtif>
M5	a.b = b.a	<konsumtif>
D1	a.(b+c) = a.b+a.c	<distributif>
D2	(a+b).c = a.c +b.c	<distributif>
D3	a+(b.c) = (a+b).(a+c)	<distributif>
D4	(a.b)+c = (a+c).(b+c)	<distributif>
C1	Untuk setiap a ∈, dan a’ ∈ S, maka a+a’=1 dan a.a’ = 0	<komplemen>

 2.2 Prinsip dualitas

Teorema 1
Untuk setiap elemen a, berlaku :
a+a =a dan aa=a

Terorema 2
Untuk setiap elemen a, berlaku
a+1 = 1 dan a.0=0

Teorema 3
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku :
a+a.b = a dan a(a+b) =a
(disebut dengan hukum penyerapan)

Teorema 4
untuk setiap elemn a dan b, berlaku :
(a.b)’= a’+b’ dan (a+b)’ = a’b’
(disebut dengan hukum de morgan)

Teorema 5
0’=1 dan 1’=0

Terema 6
jika suatu aljabar boolean berisi paling sedikit dua elemn yang berbeda, maka ≠1

Permbuktian rumus dualitas dilakukan berdasarkan aksioma dan sifat dari aljabar boolena yaitu :

1.       Pernyataan : a+ a= a

Bukti

a+a     = (a+a)(1)                        identitas

= 9a+a) (a+a’)                komplemen

= a + (a.a’)                       distributif

= a+0                                komplemen

            = a                                     identitas

2.       Pernyataan : a.a = a

a.a           = a.a +0                              identitas

                = a.a + a.a’                         komplemen

                = a (a.a’)                            distributif

                =            a.1                        komplemen

                = a                                      identitas

3.       Pernyataan : a+1 = a

a+1         = a.(a+a’)                           komplemen

                = (a+a).a’                           asosiatif

                = a+a’                                 teorema 1a

                = 1                                       komplemen

4.       Pernyataan : a.0 = a

a.0           = a.(a.a’)                             komplemen       (dual dari 2a)

                = (a.a).a’                             asosiatif

                = a.a’                                     idempoten

                = 0                                         kompelemen

5.       Pernyataan : a+a.b = a

a+ab               = a.1 + a.b                          identitas

= a(1+b)                            distributif

= a+1                                  teorema

= a                                       identitas

6.       Pernyataan : a+ab=a

a+ab       = a.1+a.b                            identitas

                = a(1+b)                            distributif

                = a+1                                  teorema 2a)

                = a                                       identitas

7.       Pernyataan : a.(a+b)= a

a.(a+b)   = a.a+a.b                            distributif           (dual dari 3a)

                = a+ab                                idempotem

                = a.1+ab                             identitas

                = a(1+b)                            distributif

                = a.1                                     teorema 2a)

                = a                                        identitas

8.       Pernyataan : (a.b)’=a

(a.b)’=a’+b’

Diketahui            : (ab)(ab)’           = 0

Diperlihatkan     : (ab) (a’+b’)      = 0

Bukti

(ab)(a’+b’)            = aba’ + abb      distributif

                                = 0.b +a.0          komplemen

                                = 0+0                 teorema 2b

                                = 0                      identitas

9.       Pernyataan : (a.b)’=a

Bukti

(a+b)’ = a’b’

Diketahui            : (ab)+(ab)’       = 1

Diperlihatkan   : ab+a’+b’            = 1

Bukti

ab+(a’+b’)            = (a+a’+b’)(b+a’+b’)                  distributif

                                = (1+b’)(1+a’)                               komplemen

                                = 1.1                                                  teorema 2a

                                = 1                                                     identitas




Sumber : Logika Informatika (Retno Hendrowati, Ir.,MT - Bambang Hariyanto, Ir)