Logika Informatika- Operasi Dasar Himpunan

A UNION (Perpaduan/gabungan)

Operasi Sasar Himpunan

Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya . Union berikut dapat dinyatakan sebagai :

A∪B dibaca A Union B

Contoh

A = {a,b,c,d} dan b ={e,f,g}, maka A∪B= {a,b,c,d,e,f,g}

Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut :

A∪B = {x|x ∈ A atau x ∈ B}

Berlaku hukum A∪B = B∪A

Sub himpunan

A dan B kedua duanya selalu berupa subhimpunan dari A∪B, yaitu A ⊂ ( A∪B  )dan B ⊂ (A∪B)

B. IRISAN (perpotongan)

Irisan himpunana A dan himpuann B adalah himpunan dari elemen-elemn yang dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu elemen –elemen yang termasuk A dan juga termasuk B, irisan dinyatakan dengan :

A∩B yang dibaca A’irisan’B

Contoh

S={a,b,c,d } dan T={b,d,f,g}     S∩T={b,d}

Dapat dinyatakan dengan

A∩B = {x|x ∈  A dan x ∈ B}

Setiap himpuna A dan himpunan B mengandung A∩B sebagai subhimpunan yaitu :

(A∩B) ⊂A dan (A∩B)⊂B

Jika himpunan A dan himpunan Btidak mempunyai elemen elemen yang dimiliki bersama berarti A dan B terpisah, maka irissan dari kedunya adalah himpunan kosong : A∩B =  ∅

1.3.3

Selisih himpunan dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen – elemen yang termasuk A, tetapi tidak termasuk B dan dinyatakan dengan :

A-B  dibaca ‘selisih A dan B ‘ atau ‘A kurang B’

Dapat dinyatakan dengan : A-B = {x|x ∈ A dan x∉B}

Himpunan A mengandung A-B sebagai subhimpunan , berarti : (A-B) ⊂ A

C. KOMPLEMEN

Kompelemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A. Komplemen dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut :

A’={ x|x ∈ U dan x ∉ A} atau A ={x|x ∉ A}

Union sebarang himpunan A dan komplemenya A’ adalah himpunan semseta yaitu:

A∩A’ = U

A∩A’ = ∅

Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri (A’)’ = A

Selisih A dan B sama dengan irisan A dan komplemen B : A-B = A ∩ B’

 Hukum-Hukum paada operasi himpunan

A ∪ S = S	A + S = A’	A ∩ S = A
A ∪ A = A	A + A = ∅	A ∩ A = A
A ∪ A’ =S	A + A’ = S	A ∩ A’ =  ∅
A ∪ ∅ = A	A + ∅ = A	A ∩  ∅ =∅
A ∪ B = (A+B) ∪(A∩B)=(A+B)+(A∩B)
A+B =(A ∪ B)-(A∩B)
(A ∪ B)’=A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
A ∩ (B ∪ C)= (A ∩ B) ∪ (A∩C)
A∪ (BC)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(A’)’ = A

D. PERKALIAN HIMPUNAN DAN RELASI 

Perkalian himpuunan ( product of set)

Pasangan berurutan (Ordered Pair)

Pasangan berurutan berisi dua object dengan urutan tetap. Dua pasangan berurutan pabila :

(x,y) = (u,v) <=> ((x =u) dan (y =v)

Pasangan berurutan diperluas menjadi n tuple disebut n tuple, maka 3-tuple disebut sama, apabila (x,y,z) = (u,v,w) <=> ((x =u) u dan (y-v) dan (z=w)) 

Relasi

Relasi adalah aksi menghubungkan dua object satu dengan lainnya

Contoh relasi dalam kehidupan seari-hari

§ Relasi orang tua antara bapak dengan anaknya

§ Relasi antara memperkerjakan antara majikan dan pegawai

Contoh relasi pada aritmatika

§ Kurang dari

§ Lebih dariContoh geometri

§ Relasi anatra luas bujung sangkar dengan panjang sisinyaSuatu ‘Relasi R’ terdiri dari :

1.       Sebuah himpunan A

2.       Sebuah himpunan B

3.      Suatu kalimat terbuka P(x,y) dimana P(a,b) benar atau salah untuk sembarang pasangan terurut (a,b) yang termasuk dalam A x B

Maka dapat disebut R suatu relasidari A ke B dan menyatakan dengan :

R = (A, B, P(x,y))

Selanjutnya, jika P(a,b) adalah benar ditulis
aRb
yang berarti  “a berhubungan dengan b”

‘AxB’ berarti A cross B, yang didefinisikan sebagai : {<a,b>|a ∈ A dan b ∈ B}

Contoh

Diketahui A = {2,3}  B = {a,b,c}

A x B = {<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>,}

B x A ={<a,2>,<a,3>,<b,2>,<b,3>,<c,2>,<c,3>}

A x A ={<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}

Relasi adalah himpunan bagian dari perkalian himpunan

Contoh

Ralasi ‘lebih kecil dari’, ‘sama dengan’ dan lain-lain

Jika A ={1,2,3,4,5} maka relasi sama dengan dari set A adalah : E = {<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

Relasi dapat diartikan sebagai pasangan terurut tertentu misalnya (x,y)R, dimana R adalah relasi, atau sebagai xRy. Pada matematika, relasi sering  dilambangkan dengan simbol khusus bukan huruf kapital

Contoh

Relasi ’kurang dari’ dilambangkan "<“

Sesugguhnya, “<” adalah nama himpunan dengan anggota anggotanyapasangan berurutan atau relasi “<” yaitu ;

< adalah {(x,y)|x,y adalah bilngan real dan x kurang dari y}

DOMAIN dan RANGE

Misalnya S adalah relasi biner. Himpunan D (S) semua objek x untuk y, sehingga (x,y ) ∈ S disebut domain dari S, yaitu :

D(S) = {x|(⋼y)(x,y) ∈ S)}

Juga himpunan R(S) semua objek y untuk x, dimana (x,y) ∈ disebut range dari S, yaitu:

D(S)={y|(⋼x)((x,y) ∈ S}\

SIFAT-SIFAT RELASI

Reflexive
Jika untuk setiap x ∈ X, xRx, maka (x,x) ∈ R

Symmetric
jika untuk setiap x dan y dalam X, ketika xRy, maka yRx

Transitive
Jika untuk setiap x,y dan z dalam X ketika zRy dan yRz, maka xRz

Irreflexive
jika untuk setiap x  ∈ X, maka (x , x) ∉ R

Antisymmetric
jika untu setiap x dan y dalam X , ketika xRy dan yRx, maa x=y

Komposisi
R o S = {(x,z)|x ∈ X ∧ z ∈ Z ∧ (⋼Y)(y ∈ Y ∧ (x,y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S)

Sumber : Logika Informatika (Retno hendrowati, Ir.,MT - Bambang Hariyanto, Ir)